«Занимательная математика». Кружковые занятия для 5-7 классов. Часть I. 5 класс


Автор: Солдатова С.А. - подписаться на статьи автора
Журнал: Информ-образование. 2020 Выпуск 2 - подписаться на статьи журнала
1.1 Различные затейные задачи.                                                                  

1.       Некий человек должен был перевести в лодке через реку волка, козу, и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или коза, или волк, или капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу. А если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. В присутствии человека никто ничего не ел. Человек все-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

2.       Молодой мастер задумался. Перед ним 5 звеньев цепи, которые надо соединить в одну цепь, не употребляя дополнительных колец. Если, например, расковать кольцо – это одна операция, а зацепиться и спаять кольцо – еще одна операция. А всего ему можно сделать только 6 операций. Как это сделать?         

3.       У мальчика столько же сестер, сколько и братьев. А у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сестер?

4.       Остап возвращался домой из Киева. Первую половину пути он проехал поездом в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Однако вторую половину пути ему пришлось проехать на волах – в 2 раза медленнее, чем если бы он шел пешком. Выгадает ли Остап сколько-нибудь времени по сравнению с ходьбой пешком?

5.       Путешественник должен был пройти маршрут к 1 сентября. Он вышел вовремя и ему повезло – половину пути он проехал на машине со скоростью в 13 раз большей, чем его собственная. Но из-за проливных дождей оставшуюся часть он прошел в 2 раза медленнее, чем планировал. Успеет ли путешественник преодолеть маршрут к назначенному сроку?                  

6.       На острове Буяне четыре государства, каждое из которых граничит с тремя другими. Нарисуйте карту острова.

7.       Мама очень вкусно поджаривает ломтики хлеба, пользуясь специальной маленькой сковородкой. Поджарив одну сторону каждого ломтика, она переворачивает его на другую сторону. Поджаривание каждой стороны ломтика длится 30 секунд, причем на сковородке умещается только 2 ломтика. Как мама это делает за полторы минуты?

8.       В доме шесть этажей. Во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на второй этаж, если пролеты имеют по одинаковому числу ступенек?

9.       Приехав вечером в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из шести звеньев. Хозяин согласился приютить Ходжу на шесть дней с такими условиями:

а) за один день Насреддин платит одним звено цепочки;

б) расплачиваться он должен ежедневно;

в) хозяин соглашался принять не более одного распиленного звена.

Как это сделать?

10. Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несёт по два хлеба, женщина – по половине хлеба, а ребёнок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

11. Мой знакомый Саша однажды мне сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году мне исполнится 13». Может ли быть такое?

12. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?» «В моей корзине половина числа рыб, находящихся в корзине у него», - ответил первый. «А у меня в корзине столько рыб, сколько у него, да ещё 20», - сказал второй. Сколько же рыб у обоих?

13. Живут пять братьев: Иван, Степан, Андрей и близнецы Сергей и Агей. Произведение лет Сергея и Агея равно году рождения Андрея, а произведение лет Андрея и Степана равно году рождения Ивана. Как зовут сына Андрея, если он в пять раз моложе своего дяди-тёзки?

14. Имеется 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных наполовину, и 7 пустых бочек. Как распределить эти бочки между тремя грузовиками, чтобы на каждом грузовике было 7 бочек, и на всех грузовиках был одинаковый груз?

1.2 Расставьте знаки!

1.       В записи 7.9+12:3 2 расставьте скобки так, чтобы значение выражения было равно 23; 75.

2.       В записи 1*2*3*4*5 заменить звездочки знаками действий и расставить скобки так, чтобы получилось выражение, равное 100.

3.       Используя четыре цифры 2 и знаки действий, получите выражения, равные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

4.       В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 расставить знаки + и - чтобы значение выражения было равно 100.

5.       В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 = 100 поставить между некоторыми цифрами знак +, чтобы равенство было верным.

6.       В записи 5 5 5 5 поставить между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно: а) 20; б) 110; в) 560.

7.       С помощью пяти одинаковых цифр, знаков действий записать выражение, значение которого равно 100.

8.       Применяя знаки действий и скобки, записать

а) семью семерками 700

б) десятью четверками 500.

9.       Расставь скобки, чтобы равенство было верным

    6 8+20:4-2=58

    3248:16-3 315-156 2=600

    350-15 104-1428:14=320

10. Написать 100 шестью одинаковыми цифрами.

11. Написать 55, употребляя только пять четверок.

12. Написать 20 при помощи четырех девяток.

1.3 Переливания.

1. Имеются 2 сосуда: 3л и 5л. С их помощью 4л воды из водопроводного крана.

2. Имеются 2 сосуда: 8л и 5л. С их помощью налить 7 воды из водопроводного крана.

3. Имеются 2 сосуда: 5л и 7л. С их помощью налить 6л воды из водопроводного крана.

4. Имеются 2 сосуда: 17л и 5л. С их помощью налить 13л воды из водопроводного крана.

5. Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить в кастрюлю 5 литров воды?

6. Как, имея 2 ведра емкостью 4л и 9л, налить из водопроводного крана 6л воды?

7. В первый сосуд входит 8л, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда емкостью 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить 1л?

8. В первый сосуд входит 12л, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда 5л и 8л. Как разделить воду на 2 равные части?

9. В бочке не менее 10 литров бензина. Как отлить из неё 6 литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

10. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра молока с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидона. Как это сделать?

11.    Двадцативедёрная бочка наполнена керосином. Как разделить его на две равные части, пользуясь пустыми пятиведёрной и восьмиведёрной бочками?

12.   В бочке находится не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер бензина с помощью девятиведёрной и пятиведёрной бочек?

1.4 Логические задачи на установление соответствия.

1.      Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов, Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий - рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

2.      Коля, Боря, Вова и Юра заняли четыре места на соревнованиях, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-либо места. На вопрос, какие места заняли ребята, трое ответили:

а) Коля ни первое, ни четвертое;

б) Боря – второе;

в) Вова не был последним.

Какие места занял каждый мальчик?

3.      Однажды в Артеке за круглым столом оказались пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Москвич сидел между томичем и Витей, санктпетербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а томич с Толей регулярно переписываются. Определите, в каком городе живет каждый из ребят.

4.      В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что

а) вода и молоко не в бутылке;

б) сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

в) в стакане не лимонад и не вода;

г) стакан стоит между банкой и сосудом с молоком;

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

5.      Три друга: Алеша, Боря и Володя – учатся в различных школах города Новгорода (в школах №1, №8, №30). Все они живут на различных улицах (улица Рогатица, улица Газон, улица Ломоносова). Причем один из них любит математику, второй – химию, а третий – биологию. Известно, что:

а) Алеша не живет на улице Рогатица, а Борис не живет на ул. Газон;

б) мальчик, живущий на ул. Рогатица, не учится в школе №30;

в) мальчик, живущий на ул. Газон, учится в школе №1 и любит математику;

г) Володя учится в школе №30;

д) ученик школы №8 не любит химию.

В какой школе учится каждый из друзей?

6.      Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях и туфлях. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель совпадали. Ни туфли, ни платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель на каждой из подруг.

7.      Пятеро одноклассников: Аня, Саша, Лена, Вася и Миша стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что

а) победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работать на компьютере;

б) Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

в) Саша всегда побаивался физики;

г) Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

д) Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике;

е) Аня сожалеет о том, что у неё остаётся мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

8.      Купленные в подарок игрушки (пистолет, сумочку, куклу и машину) уложили в четыре коробки, по одной в каждую. Требуется узнать, что положено в каждую коробку, если известно следующее:

          а) машина и пистолет не в красной коробке;

          б) коробка с сумочкой находится между синей коробкой и коробкой с куклой;

          в) в зеленой коробке не сумочка и не машинка;

         г) желтая и зеленая коробка находятся около коробки с пистолетом.

1.5 Логические задачи на упорядочение множеств.

1.     В очереди за билетами в кино стоят: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что

а) Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже, чем Олег.

б) Володя и Олег не стояли рядом;

в) Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.

Кто за кем стоит?

2.     Волейбольные команды А, Б, В, Г, Д, Е разыграли первенство. Известно, что команда А отстала от Б на 3 места, команда В оказалась между Г и Д, команда Е опередила Б, но отстала от Д. Какое место заняла каждая команда?

3.     В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на три?

4.     Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разделились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы», и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании Юра Воробьев, следующий по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем катается?

5.     На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Аня, Валя, Галя и Надя.

а) девочка в зеленом платье – не Аня и не Валя – стоит между девочкой в голубом платье и Надей.

б) девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.

Какого цвета платье у каждой девочки?

6.     Как-то раз четыре товарища (Петя, Боря, Алеша и Коля) пошли со своими сестрами на новогодний бал. Во время первого танца каждый танцевал не со своей сестрой. Лена танцевала с Петей, а Светлана с братом Наташи, Оля танцевала с братом Светланы, Боря – с сестрой Алеши, а Алеша – с сестрой Пети. Кто чей брат и кто с кем танцевал?

7.     Алексей Иванович, Федор Семенович, Валентин Петрович и Григорий Аркадьевич были как-то со своими детьми в парке культуры и отдыха. Они катались на колесе обозрения. В кабинах колеса оказались вместе: Леня с Алексеем Ивановичем, Андрей с отцом Коли, Тима с отцом Андрея Федор Семенович сыном Валентина Петровича, а Валентин Петрович с сыном Алексея Ивановича. Назовите, кто чей сын, и кто с кем катался, если ни один из мальчиков не катался со своим отцом?

8.     Жили четыре друга. Звали их Альберт, Карл, Дитрих и Отто. Фамилии друзей те же, что имена, однако ни у кого имя и фамилия н совпадают. Кроме того, фамилия Дитриха не была Альберт. Требуется определить фамилию каждого из друзей, если известно, что имя мальчика, чья фамилия Отто, есть фамилия того мальчика, имя которого – фамилия Карла.

9.     Трое юношей Коля, Петя и Юра влюблены в трех девушек: Таню, Зину и Галю. Но это любовь без взаимности.

а) Коля любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Таню;

б) Петя любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Зину;

в) Зина не любит Юру. Кто в кого влюблен?

1.6 Задачи о лгунах.

1.     Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое – нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

2.     В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Вторая белка сказала: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая нет. Кто был первым, и кто вторым в кроссе?

3.     Четыре ученика Витя, Петя, Юра и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы: «Петя – второе, Витя – третье», «Сергей – второе, Петя – первое», «Юра – второе, Витя – четвертое». Укажите, кто какое место занял, если в каждом ответе верна лишь одна часть.

4.     Три ученика различных школ города Новгорода приехали в один летний лагерь. На вопрос вожатого, в каких школах Новгорода они учатся, каждый дал ответ:

Петя: «Я учусь в школе №24, а Леня – в школе №8».

Леня: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №30».

Коля: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №8»

Вожатый, удивленный противоречиями в ответах ребят, попросил их объяснить, где правда, а где ложь. Тогда ребята признались, что в ответе каждого из них одно утверждение верно, а другое    ложно. В какой школе учится каждый из мальчиков?

5.     Четыре спортсменки Аня, Валя, Галя и Даша заняли первые четыре места в соревнованиях по гимнастике, причем никакие две из них не делили между собой эти места. На вопрос, какое место заняла каждая из спортсменок, трое болельщиков ответили: «Аня – второе, а Даша – третье место», «Аня – первое, а Валя – второе место», «Галя – второе, а Даша – четвертое место». Оказалось, что каждый из болельщиков ошибся один раз. Какое место заняла каждая из спортсменок?

6.     Один из пяти братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это Витя или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой – неправду». Юра сказал: «Нет, Дима, ты неправ». Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил окно?

7.     Н острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда врут. Путешественник, приехавший на остров, нанял жителя острова в проводники. Они пошли и увидел другого жителя острова. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся сказал, что туземец говорит, что он абориген. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

8.     Давным – давно жил во Франции бедный царь. Были у него две дочери: Элиза и Жанна. Это были две самые правдивые девушки на свете. Они никогда никого не обманывали даже первого апреля. Только раз в году, в день своего рождения, каждая из дочерей могла уклониться от истины и то только тогда, когда у нее спрашивали, когда она родилась. Однажды (6 апреля 1442 года) остановившийся в замке, спросил у Элизы, когда ее день рождения. «Он был вчера» - последовал ответ. На тот же вопрос Жанна ответила; «Он будет завтра». На следующий день путник снова спросил о том же самом Элизу и Жанну. «Он был вчера» - снова ответила Элиза. «Он будет завтра» - сказала Жанна. Путник был очень озадачен этими ответами. Но вам-то чему удивляться, подумайте-ка получше, возьмите карандаш и бумагу и скажите, когда у Элизы и Жанны дни рождения.

9.     На рыночной площади одного маленького городка стояли три старичка с очень умными попугаями. За некоторую плату каждый попугай отвечал на заданные ему вопросы. Жители городка знали, что один из попугаев за любую плату говорит правду; другой, сколько ему ни дай, соврет; а третий отвечает согласно плате и настроению: решит, что мало дали – соврет, решит, что достаточно – скажет правду. Но кто из попугаев – лжец, кто – хитрец, а кто честный, никто не знал, пока в город не приехал… математик. «Кто сидит рядом с тобой?»- спросил он у первого попугая. «Лжец» - ответил тот. «А ты кто такой?» - спросил математик у второго попугая. «Я хитрец» - ответил попугай. «А кто сидит рядом с тобой?»- спросил он у третьего попугая. «Абсолютно честный попугай»- был ответ. И математик сразу определил, кто из ни честный, кто лжец, кто хитрец.

10. Пять человек сидят за круглым столом. По очереди каждый из них говорит: «Оба мои соседа, справа и слева - лжецы». Известно, что лжецы всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Кроме того, все знают, являются ли лжецами их соседи. Сколько лжецов за столом?

1.7 Взвешивания.

1.     У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы?

2.     На одной чашке весов лежит 6 одинаковых яблок и 3 одинаковых груши. На другой чашке – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

3.     Из трех монет две настоящих и одна фальшивая – она легче. Как за одно взвешивание чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

4.     Из девяти монет одна фальшивая – она легче. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

5.     Из 27 монет одна фальшивая – она легче. Как за наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

6.     Из трех одинаковых с виду монет одна фальшивая, но не известно, она тяжелее или легче других. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь.

7.     Имеется три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом в 10г каждая, а в одном из них фальшивые весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?

8.     Из 8 монет одна фальшивая – она легче. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

1.8 Задачи на «предположение».

1.     (Старинная китайская задача). В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

2.     (Старинная задача) За 1000 р. я купил 44 коровы по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

3.     Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3р., а каждый мальчик – по 5р., то все 30 учащихся класса соберу 122р. Сколько в классе мальчиков?

4.     По тропинке вдоль кустов

Шло 11 хвостов.

Сосчитать я также смог,

Что шагало 30 ног.

Это вместе шли куда-то

Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

Мне хотелось также знать,

Сколько было поросят?

5.     В детском саду имеется 20 велосипедов - трехколесных и двухколесных. У всех велосипедов 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду?

6.     Для детского сада купили 20 пирамид больших и маленьких: по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

7.     Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?

8.     На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

9.     Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено?

Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.

10. На дровяном складе имеются берёзовые сосновые дрова, всего 100 куб. м на сумму 3400р. Кубический метр берёзовых дров стоит 40р., а сосновых 30р. Сколько было на складе берёзовых и сколько сосновых дров?

11. На лугу паслись гуси и козы, у них вместе 36 голов и 100 ног. Сколько на лугу гусей и сколько коз?

1.9 Задачи на «части».

1.     Сумма двух чисел 495. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получиться второе число. Найти эти числа.

2.     Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найдите эти числа.

3.     Разность двух чисел 0,7. Если большее из них увеличить в 5 раз, а меньшее оставить без изменений, то разность будет 75,1. Найти эти числа.

4.     В трех районах города 12000 жителей. Сколько жителей в каждом районе, если известно, что2/3 числа жителей первого района равны 0,5 жителей второго района и 2/5 числа жителей третьего района?

5.     Когда отцу было 37 лет, то сын было только 3 года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

6.     Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

7.     Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои 2 сливы. Тогда будет у нас слив поровну», - на что другой ответил: «Нет лучше ты дай мне свои 2 сливы, - тогда у меня будет в 2 раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

8.     Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?

9.     В забеге участвовал 31 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Игоря, в четыре раза меньше числа тех, кто прибежал раньше. Какое место занял Игорь?

10. У Миши одноклассников на 7 больше, чем одноклассниц. Мальчиков в его классе в 2 раза больше, чем девочек. Маша – одноклассница Миши. Сколько у неё одноклассниц?

11. Жучка тяжелее кошки в 6 раз. Мышка легче кошки в 20 раз, репка тяжелее мышки в 720 раз. Во сколько раз репка тяжелее Жучки?

12. Отец старше сына в 4 раза, а сумма их возрастов составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына втрое?

13. В ларёк доставили апельсины и яблоки в одинаковом количестве. После того, как продали 450 кг апельсинов и 330 кг яблок, апельсинов осталось в 4 раза меньше, чем яблок. Сколько апельсинов и яблок доставили в магазин?

14. Надо разрезать доску длиной 3 м на 2 части так, чтобы число метров большей части было равно числу дециметров в меньшей части. Как разрезать доску?

15. Пшеницей, рожью и ячменём засеяно 8400 га пашни. Рожью было засеяно в 5 раз больше, чем ячменём, а пшеницей столько, сколько ячменём и рожью вместе. Сколько гектаров засеяно каждой культурой?

16. При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?

17. Отцу столько лет, сколько лет дочери и сыну вместе. Сын вдвое старше дочери и на 20 лет моложе отца. Сколько лет каждому?

18. У Саши 28 марок, а у его сестры 16. Сколько марок должен отдать Саша сестре, чтобы у него стало марок в 3 раза меньше, чем у сестры

1.10 Различные задачи.

1.     Несколько учеников отвечали на уроке, и все отметку не ниже тройки. Аня получила отметку на 10 меньшую суммы отметок остальных. Боря получил отметку на 8 меньшую суммы отметок остальных. Вера – отметку на 6 меньшую суммы отметок остальных. Сколько человек отвечало на уроке, и какие отметки они получили?

2.     Торговка продавала цыплят. Одна кухарка купила у нее половину всех цыплят и еще полцыпленка. Другая кухарка купила половину всех оставшихся цыплят и еще полцыпленка. Наконец третья кухарка купила половину всех оставшихся цыплят и еще полцыпленка, после чего у торговки не сталось ни одного цыпленка. Сколько же цыплят у нее было?

3.     Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей, сложившись без четвертого - 75 рублей. Сколько денег у каждого?

4.     Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10км/ч и 8км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

5.     Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Сколько страниц в книге?

6.     Для нумерации всех страниц словаря, начиная с первой, потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в словаре?

7.     В двух корзинах было поровну яблок. После того, как из одной корзины продали 150 яблок, а из другой – 194, в первой корзине осталось в три раза больше, чем во второй. Сколько яблок было в каждой корзине?

8.     В нашем классе есть певцы и танцоры. 1/5 всех певцов еще и танцуют, а 1/4 танцоров еще и поет. Кого в классе больше: певцов или танцоров?

9.     У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько было у Светы. После этого у девочек оказалось равное число яблок. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

10. Трое мальчиков имеют по одинаковому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий дает каждому из двух столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок был вначале у каждого мальчика?

11. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45с, а мимо будки стрелочника – за 15с. Вычислить длину поезда и его скорость.

12. Железнодорожный состав длиною 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости за 3 мин. Какова длина туннеля?

13. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400г. Сколько весит 1 гусенок?

14. Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?

15. Окружность и прямоугольник были друзьями. «К сожалению, - сказала окружность прямоугольнику, - у нас не бывает больше, чем а общих точек, даже если я увеличусь или уменьшусь. Чему равно а.

16. Буратино собрал много календариков за прошлые годы, но у него нет календариков за 1997 год. Календарь какого из прошлых лет он может использовать для правильного определения дней недели?

17. У Пети есть моток жесткой проволоки длиной 12 дм. На какое наименьшее число кусков его нужно разрезать, чтобы собрать каркас куба с ребром 1дм?

18. Какое наименьшее число детей может в семье, если у каждого ребёнка есть хотя бы одна сестра и хотя бы один брат?

19. В двузначном числе 5 десятков. Между числами этого числа вписали 0. На сколько полученное трёхзначное число больше первоначального двузначного?

20. Красная Шапочка несла бабушке пироги: 7 – с капустой, 6 – с яблоками, 3 – с мясом. У дороги сидели 5 зайцев, которые видели, что девочка съела 2 пирога. Один заяц сказал: «Бабушке не достанется пирожков с мясом». Второй предположил: «Пирогов с яблоками стало меньше, чем с мясом». Третий решил, что пирогов с всех видов будет поровну, а четвёртый подумал, что поровну стало пирогов двух видов. Пятый подумал, что пирогов с капустой стало больше, чем всех остальных вместе. Какой и зайцев мог быть прав?

21. По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость впередиидущего мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за это время собака?

22. С рынка возвращались две колхозницы. Одна из них спросила другую: «Что вы продавали?». Спрошенная ответила: «Я продавала цыплят. Первому покупателю я продала половину всех цыплят и ещё полцыплёнка, второму половину оставшихся у меня цыплят и ещё полцыплёнка. Третьему покупателю я продала также половину оставшихся после второго цыплят и ещё полцыплёнка. Больше цыплят у меня не осталось. Сколько же цыплят продала эта колхозница?

23. В автобусе сначала ехали 18 пассажиров. Потом на каждой остановке выходили 4 человека, а входили 6 человек. Сколько пассажиров ехали в автобусе между четвёртой и пятой остановками?

24. Папа купил для коллекции 4 марки – французскую, немецкую, болгарскую и польскую. Стоимость покупки без французской марки – 40 р., без немецкой – 45 р., без болгарской – 44 р., а без польской – 27р. Сколько стоит польская марка?

25. Бабушка печёт блины. К приходу внука из школы на тарелке лежит 17 блинов. Придя, внук тотчас же начинает их есть. Пока он ест 4 блина, бабушка подкладывает 3 новых. Маленький обжора уходит, съев 24 блина. Сколько блинов осталось на тарелке?

26. В автомобильных гонках участвовали 3 машины. Они стартовали в таком порядке: сначала «Ягуар», затем «Феррари», потом «Джип». На дистанции «Ягуар» обогнали 3 раза, «Феррари» - 5 раз, а «Джип» - 8 раз. В какой последовательности пришли машины?

27. 6 карасей тяжелее 10 лещей, но легче 5 окуней. 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее: 2 карася или 3 леща?

28. Четырёх кошек взвесил попарно во всех возможных комбинациях. Получили: 7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Чему равен общий вес четырёх кошек?

29. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

30. 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За всё время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок, сколько каждая овца?

31. 10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и одна груша, а 6 слив и 1 яблоко – такую же массу, как одна груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе одной груши?

32. Площадь двух участков земли 24,25 га. Если от первого отрезать 3,5 га и прибавить ко второму, то в первом всё-таки окажется на 0,6 га больше, чем станет во втором. Чему равна площадь каждого участка?

33. Брату и сестре понравилась в киоск почтовая марка, но, чтобы её купить, брату не хватает 20 к., а сестре 14 к. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что и не хватает ещё 4 к. Сколько стоит марка?

34. Рыбак поймал рыбу. Когда его спросили, какова масса пойманной рыбы, он сказал: «Я думаю, что масса хвоста 1 кг, масса головы такая, как масса хвоста и половины туловища, а масса туловища равна массе головы и хвоста вместе». Какова же масса рыбы?

35. Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Когда он проснулся, то оказалось, что ему осталось ехать половину пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути он проехал спящим?

36. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а другой – три картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй работал на 25 мин больше первого?

37. Старший брат сказал младшему: «Дай мне 8 орехов, тогда у меня будет вдвое больше орехов, чем у тебя», а младший сказал старшему: «Ты мне дай 8 орехов, тогда у нас будет поровну». Сколько орехов было у каждого?

38. У Вани и Акима имеется по нескольку яблок. Если Ваня даст Акиму 2 яблока, то яблок у них будет поровну. А если Аким даст Ване 2 яблока, то у Вани станет яблок в 5 раз больше, чем у Акима. Сколько яблок у каждого мальчика?

39. В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть по 30 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько было в двух ящиках вместе. Сколько яблок было в каждом ящике?

40. Сколько всего имеется восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2?

41. Старинная задача. Ослица и конь шли вместе мешками равной массы. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься? - сказал конь, - если ты дашь мне один свой мешок, то моя ноша станет вдвое тяжелее твоей, а если я дам тебе один свой мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

1.11 Задачи на тему «Дроби».

1.     На одну чашку весов положили кусок мыла, а на другую 3/4 такого куска и ещё 3/4 кг. Установилось равновесие. Сколько весит кусок мыла?

2.     Мать для трёх своих сыновей оставила утром тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев на столе сливы, он съел третью часть их и ушёл. Вторым проснулся средний. Думая, что его братья не ели сливы, он съел третью часть того, что было, и тоже ушел. Позднее всех встал младший. Увидев сливы, он решил, что его братья ещё не ели их, а потому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив. Когда пришла домой мать, она насчитала на тарелке 8 слив. Сколько всего слив было вначале?

3.     Сначала из гаража выехала третья часть всех автомашин без восьми, а потом 0,5 оставшихся машин. После этого в гараже осталось 19 автомашин. Сколько автомашин было в гараже?

4.     После того как пешеход прошёл 1 км и половину оставшегося пути, ему ещё осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?

5.     Расстояние между двумя городами турист проехал в два дня. В первый день он проехал половину пути и ещё 24 км, а во второй день ему осталось проехать расстояние, в 3 раза меньшее, чем в первый день. Найдите расстояние между городами.

6.     В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем 1/3 оставшихся яблок. После этого в пакете осталось 10 яблок. Сколько яблок было в пакете?

7.     На полке стояли книги. Сначала взяли третью часть всех книг без двух, а потом 1/2 оставшихся книг. После этого на полке осталось 9 книг. Сколько книг было на полке?

8.     В корзине были апельсины. Сначала из корзины взяли половину без шести, а затем 0,25 оставшихся апельсинов. После этого в корзине осталось 18 апельсинов. Сколько апельсинов было в корзине?

9.     Туристы 3/4 своего маршрута проехали на автобусе, а остальную часть прошли пешком, затратив на это времени в 4 раза больше. Во сколько раз на автобусе ехали быстрее, чем шли пешком?

10. Гриша прошёл 0,45 намеченного пути. Если бы он прошёл ещё 9 км, то прошёл бы 0,75 намеченного пути. Какой путь осталось пройти Грише?

1.12 Задачи на движение.

1.     Моторная лодка за 3 ч прошла по озеру 57 км, а потом по реке, впадающей в это озеро, за 4 ч прошла ещё 68 км. Найдите скорость течения реки.

2.     Путешественник проплыл по реке на плоту 50 км за 25 ч. Обратно он вернулся на моторной лодке, собственная скорость которой 27 км/ч. Сколько времени затратил путешественник на обратный путь?

3.     Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Встреча произошла через 6 ч после их выезда. С какой скоростью ехал каждый велосипедист?

4.     Катер, двигаясь против течения, за 6 ч прошёл 144 км, а по течению за 4 ч прошёл 104 км. Найдите собственную скорость катера.

5.     Катер проходит расстояние между двумя пристанями, равное 120 км, по течению 5 ч, а против течения за 6 ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.

6.     Путешественник плыл на моторной лодке против течения 3 ч. Обратно он вернулся на плоту. Сколько времени затратил путешественник на обратный путь, если собственная скорость лодки 20 км/ч, а скорость течения 2 км/ч.

7.     За 5 ч катер проходит по течению реки на 20 км больше, чем против течения

за это же время. Найдите скорость течения.

8.     Из двух городов, расстояние между которыми 240 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 ч. Скорость одного из них больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорости каждого поезда.

9.     Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а через 2 ч вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если расстояние от Саратова до Москвы 855 км?

10. В полдень от пристани отошёл теплоход со скоростью 18 км/ч; в 3 ч от той же пристани отошёл другой теплоход, который в полночь догнал первый. Сколько километров в час проходил второй теплоход?

11. Из Харькова в Москву вышла машина со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч вслед за ней выехал мотоциклист со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит машину?

12. Со станции вышел поезд, который за каждые 4 ч проходит 180 км. Через 2 ч вслед за ним вышел второй поезд, который через 9 ч догнал первый. С какой скоростью шёл второй поезд?

13. Из Иркутска Москву вылетел самолёт со скоростью 600 км/ч, а через 1 ч вслед за ним вылетел другой самолёт, который летел со скоростью 800 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый, если длина трассы между Москвой и Иркутском 4570 км?

14. Со станции вышел поезд, скорость которого 48 км/ч, а через 1,25 ч за ним вышел второй поезд, скорость которого 56 км/ч. На каком расстоянии от станции отправления второй поезд догонит первый?

15. Из города выехал на велосипеде турист со скоростью 12 км/ч. Спустя 6 ч после его выезда на мотоцикле вслед за ним отправился другой турист со скоростью 36 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от города второй турист догонит первого?

16. Теплоход отправился по реке с скорость 17,5 км/ч. Через 3 ч от той же пристани вслед за ним отправился теплоход «Ракета» со скоростью 70 км/ч. Через сколько времени и на каком расстоянии от пристани «Ракета» догонит первый теплоход?

17. Из Москвы в Хабаровск вылетел самолёт со скоростью 700 км/ч, а через 1 ч вслед за ним вылетел самолёт со скоростью 800 км/ч. На каком расстоянии от Хабаровска второй самолёт догонит первый, если длина трассы между Москвой и Хабаровском 6980 км?

18. От двух пристаней, расстояние между которыми 130 км, одновременно навстречу друг другу отошли два катера, которые встретились через 2,6 ч. Скорость одного катера больше другого на 8 км/ч. Найдите скорость каждого катера.

19. Из пункта А в направлении пункта В отправилась грузовая машина со скоростью 40 км/ч, а через 2,5 ч вслед за ней отправился мотоциклист со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит грузовую машину?

20. Две автомашины идут навстречу друг другу. Скорость одной 50 км/ч, а скорость другой на 10 км/ч больше. Какое расстояние будет между машинами через 2,5 ч после встречи? Какое расстояние было между машинами за 0,75 ч до встречи?

21. Из двух городов, расстояние между которыми 480 км, выехали навстречу друг другу два автобуса. Скорость одного автобуса 60 км/ч, а скорость второго составила 75% скорости первого, и он вышел на час позже первого автобуса. Через сколько времени после выхода второго автобуса произойдёт встреча?